Ejercicios resueltos · Guía de María

💡Cómo usar esta página

Lee el enunciado y escribe en un papel qué te piden y qué datos tienes.
Si te atascas, abre la pista 🔑.
Abre la solución ✅ solo cuando lo hayas intentado. Fallar aquí es justo lo que te hará acertar en el examen.

Ten a mano las tablas de la asignatura (Binomial, Poisson, Normal, t y χ²). Los resultados están redondeados a 4 decimales, como en las tablas.

Tema 2 · Estadística descriptiva

Faltas a terapia

Se registra cuántas sesiones de terapia ocupacional ha faltado cada uno de 20 pacientes en un mes:

0, 2, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 2, 4, 1, 3, 0

a) Construye la tabla de frecuencias completa. b) ¿Qué porcentaje faltó como mucho a 2 sesiones? c) ¿Cuántos faltaron a más de 1? d) Calcula la media, la mediana y la moda. e) ¿Qué forma tiene la distribución?

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Cuenta cuántas veces aparece cada valor (0, 1, 2, 3, 4) para obtener $n_i$ . «Como mucho 2» = «2 o menos»: mira la acumulada.

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Faltas $x_i$	$n_i$	$f_i$	$N_i$	$F_i$
0	6	30 %	6	30 %
1	5	25 %	11	55 %
2	4	20 %	15	75 %
3	3	15 %	18	90 %
4	2	10 %	20	100 %
Total	20	100 %

b) $F_3$ (la fila del 2) = 75 %.

c) Más de 1 = 2, 3 o 4 → 4 + 3 + 2 = 9 pacientes. O bien: total − $N$ (1) = 20 − 11 = 9.

d) Media = $\dfrac{0\cdot6 + 1\cdot5 + 2\cdot4 + 3\cdot3 + 4\cdot2}{20} = \dfrac{30}{20} = 1{,}5$ faltas. Mediana: n = 20 es par, así que es la media de los datos 10.º y 11.º. Mirando $N_i$ : los datos 7.º a 11.º valen 1, así que mediana = 1. Moda = 0 (es el valor con más frecuencia, 6).

e) Moda (0) < mediana (1) < media (1,5) → asimétrica a la derecha (asimetría positiva): la mayoría falta poco y unos pocos faltan mucho.

Nine Hole Peg Test

Tiempos (en segundos) de 7 pacientes en el Nine Hole Peg Test: 18, 20, 21, 22, 24, 25, 45.

a) Media y mediana. b) $Q_1$ , $Q_3$ , rango intercuartílico y rango. c) Varianza, desviación típica y coeficiente de variación. d) Si quitamos al paciente de 45 s, ¿qué medida cambia más, la media o la mediana?

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Para los cuartiles con datos sueltos: posición $= k\cdot n/4$ ; si no es entera, se redondea hacia arriba. Para la varianza, haz una tabla con $x_i - \bar{x}$ y $(x_i - \bar{x})^2$ .

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a) Media = 175 / 7 = 25 s. Mediana = el 4.º dato = 22 s.

b) $Q_1$ : posición 7/4 = 1,75 → el 2.º dato → $Q_1$ = 20. $Q_3$ : posición 3·7/4 = 5,25 → el 6.º dato → $Q_3$ = 25. RIQ = 25 − 20 = 5 s. Rango = 45 − 18 = 27 s. Fíjate: el rango se dispara por un solo paciente, el RIQ no.

c) Desviaciones a la media (25): −7, −5, −4, −3, −1, 0, +20. Al cuadrado: 49, 25, 16, 9, 1, 0, 400 → la suma es 500. $S^2 = 500 / 6 =$ 83,33 s² · $S = \sqrt{83{,}33} =$ 9,13 s · $CV = 9{,}13 / 25 =$ 36,5 %.

d) Sin el 45: media = 130 / 6 = 21,67 s (baja más de 3 s) y mediana = (21 + 22) / 2 = 21,5 s (baja medio segundo). La media cambia mucho más: es sensible a los valores extremos y la mediana es robusta.

Datos agrupados: tiempo en vestirse

Tiempo (en segundos) que tardan 50 pacientes en ponerse una camiseta:

Tiempo (s)	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60
$n_i$	4	10	18	12	6

Calcula e interpreta: a) la media; b) la mediana y la moda; c) $Q_1$ , $Q_3$ y el RIQ; d) la varianza, la desviación típica y el CV; e) el rango.

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Añade tres columnas: la marca de clase $x_i$ (15, 25, 35, 45, 55), la acumulada $N_i$ y $x_i^2 n_i$ . Para la mediana y los cuartiles usa la fórmula de $P_k$ y fíjate en el primer $N_i$ que supera $k\cdot n/100$ .

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Intervalo	$x_i$	$n_i$	$N_i$	$x_i n_i$	$x_i^2 n_i$
10–20	15	4	4	60	900
20–30	25	10	14	250	6.250
30–40	35	18	32	630	22.050
40–50	45	12	44	540	24.300
50–60	55	6	50	330	18.150
Total		50		1.810	71.650

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a) $\bar{x} = 1810 / 50 =$ 36,2 s.

b) Mediana: $n/2 = 25$ → el primer $N_i$ que supera 25 es 32 → intervalo 30–40. $Me = 30 + \dfrac{25 - 14}{18}\cdot 10 =$ 36,11 s → la mitad de los pacientes tarda 36,11 s o menos. Moda: el intervalo modal es 30–40 (frecuencia 18) → moda = 35 s.

c) $Q_1$ : $25\cdot50/100 = 12{,}5$ → intervalo 20–30 → $Q_1 = 20 + \dfrac{12{,}5 - 4}{10}\cdot 10 =$ 28,5 s. $Q_3$ : $75\cdot50/100 = 37{,}5$ → intervalo 40–50 → $Q_3 = 40 + \dfrac{37{,}5 - 32}{12}\cdot 10 =$ 44,58 s. RIQ = 44,58 − 28,5 = 16,08 s → el 50 % central de los pacientes tiene tiempos que se diferencian, como mucho, en unos 16 s.

d) $S^2 = \dfrac{71650 - 50\cdot 36{,}2^2}{49} = \dfrac{71650 - 65522}{49} =$ 125,06 s² · $S =$ 11,18 s · $CV = 11{,}18/36{,}2 =$ 30,9 %.

e) Rango = 60 − 10 = 50 s.

¿Qué variable es más dispersa?

En un grupo de pacientes, el índice de Barthel tiene media 60 puntos y desviación típica 15 puntos. La fuerza de prensión tiene media 20 kg y desviación típica 6 kg. ¿Qué variable presenta más dispersión?

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No puedes comparar 15 puntos con 6 kg: tienen unidades distintas. ¿Qué medida de dispersión no tiene unidades?

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Con el coeficiente de variación: $CV_{Barthel} = 15/60 =$ 25 % y $CV_{fuerza} = 6/20 =$ 30 %. La fuerza de prensión tiene más dispersión relativa (aunque su desviación típica, 6, sea un número más pequeño que 15).

Tema 3 · Probabilidad

Espacios muestrales

a) Una paciente elige al azar una actividad entre vestido, cocina y aseo, y se lanza una moneda para decidir si la hace por la mañana o por la tarde. Escribe el espacio muestral. b) Tres pacientes reciben un tratamiento y cada uno mejora (M) o no (N). Escribe el espacio muestral y el suceso «al menos dos mejoran».

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Combina cada resultado del primer experimento con cada resultado del segundo. Un diagrama de árbol ayuda mucho.

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a) Ω = {vestido-mañana, vestido-tarde, cocina-mañana, cocina-tarde, aseo-mañana, aseo-tarde} → 6 resultados (3 × 2).

b) Ω = {MMM, MMN, MNM, NMM, MNN, NMN, NNM, NNN} → 8 resultados (2 × 2 × 2). «Al menos dos mejoran» = {MMN, MNM, NMM, MMM}. Si mejorar y no mejorar fueran igual de probables, por Laplace su probabilidad sería 4/8 = 0,5.

Dado trucado

Un dado está trucado: el 6 sale el triple de veces que cada uno de los otros números, que son igual de probables entre sí. Calcula P(6), P(1) y P(sacar par).

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Llama $x$ a la probabilidad de cada número del 1 al 5. Entonces P(6) = 3x. Todas juntas tienen que sumar 1 (axioma de Kolmogorov).

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$5x + 3x = 1 \Rightarrow 8x = 1 \Rightarrow x = 1/8$ . P(1) = 1/8 = 0,125 y P(6) = 3/8 = 0,375. P(par) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/8 + 1/8 + 3/8 = 5/8 = 0,625 (son sucesos incompatibles, así que se suman).

Terapia en espejo (tabla de contingencia)

De 120 pacientes con ictus, 40 recibieron terapia en espejo y 80 terapia convencional. Mejoraron 30 de los de espejo y 48 de los de convencional.

a) P(mejorar). b) P(mejorar | espejo). c) P(mejorar | convencional). d) P(espejo | mejora). e) ¿Son independientes «recibir terapia en espejo» y «mejorar»?

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Monta la tabla 2×2 con totales. En una condicionada, el denominador es el total del grupo que ya sabes que se cumple.

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	Mejora	No mejora	Total
Espejo	30	10	40
Convencional	48	32	80
Total	78	42	120

a) 78/120 = 0,65. b) 30/40 = 0,75. c) 48/80 = 0,60. d) 30/78 = 0,385 (¡no es lo mismo que b!).

e) P(mejorar | espejo) = 0,75 ≠ P(mejorar) = 0,65 → no son independientes: saber qué terapia recibió cambia la probabilidad de mejorar. Comprobación con la otra fórmula: P(espejo ∩ mejora) = 30/120 = 0,25, mientras que P(espejo)·P(mejora) = (40/120)·0,65 = 0,217. No son iguales.

Dolor de hombro y espasticidad

En una unidad, P(dolor de hombro) = P(A) = 0,3, P(espasticidad) = P(B) = 0,2 y P(ambos) = 0,06. a) P(A ∪ B). b) P(A | B) y P(B | A). c) ¿Son incompatibles? ¿Son independientes? d) Probabilidad de no tener ninguno de los dos.

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a) P(A ∪ B) = 0,3 + 0,2 − 0,06 = 0,44.

b) P(A | B) = 0,06 / 0,2 = 0,3 · P(B | A) = 0,06 / 0,3 = 0,2.

c) No son incompatibles, porque P(A ∩ B) = 0,06 ≠ 0. Sí son independientes, porque P(A)·P(B) = 0,3·0,2 = 0,06 = P(A ∩ B). Lo confirma también que P(A | B) = P(A).

d) «Ninguno» es el contrario de «al menos uno»: 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0,44 = 0,56.

Binomial: afasia

El 25 % de los pacientes con ictus de una planta tiene afasia. Se eligen 10 pacientes al azar. Calcula la probabilidad de que tengan afasia: a) exactamente 2; b) como mucho 1; c) al menos 3; d) entre 2 y 4 (ambos incluidos). e) ¿Cuántos se espera que tengan afasia?

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X = nº de pacientes con afasia ~ B(n = 10, p = 0,25). Busca en la tabla la fila n = 10 y la columna p = 0,25. Para «al menos 3» usa el complementario.

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Valores de la tabla para B(10; 0,25): P(0) = 0,0563 · P(1) = 0,1877 · P(2) = 0,2816 · P(3) = 0,2503 · P(4) = 0,1460.

a) P(X = 2) = 0,2816 b) P(X ≤ 1) = 0,0563 + 0,1877 = 0,2440 c) P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − (0,0563 + 0,1877 + 0,2816) = 1 − 0,5256 = 0,4744 d) P(2 ≤ X ≤ 4) = 0,2816 + 0,2503 + 0,1460 = 0,6779 e) E[X] = n·p = 10 · 0,25 = 2,5 pacientes

Binomial con p > 0,5: Katniss

Katniss acierta cada flecha con probabilidad 0,7, de forma independiente. Dispara 5 flechas. a) Probabilidad de acertar las 5. b) Probabilidad de acertar al menos 4. c) Número esperado de aciertos.

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Las tablas suelen llegar solo hasta p = 0,5. Truco: cuenta los fallos, Y ~ B(5; 0,3). Acertar las 5 = fallar 0. Acertar al menos 4 = fallar como mucho 1.

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Con Y = nº de fallos ~ B(5; 0,3): P(Y = 0) = 0,1681 · P(Y = 1) = 0,3602.

a) P(5 aciertos) = P(Y = 0) = 0,1681 (o directamente $0{,}7^5 = 0{,}1681$ ). b) P(al menos 4 aciertos) = P(Y ≤ 1) = 0,1681 + 0,3602 = 0,5283. c) E = 5 · 0,7 = 3,5 aciertos.

Poisson: caídas

En una planta de neurorrehabilitación se producen de media 2 caídas por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana haya: a) ninguna caída; b) exactamente 3; c) más de 4; d) al menos una?

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X = nº de caídas en una semana ~ P(λ = 2). «Más de 4» = 1 − P(X ≤ 4).

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Valores de la tabla para λ = 2: P(0) = 0,1353 · P(1) = 0,2707 · P(2) = 0,2707 · P(3) = 0,1804 · P(4) = 0,0902.

a) 0,1353 · b) 0,1804 c) P(X > 4) = 1 − (0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902) = 1 − 0,9473 = 0,0527 d) P(X ≥ 1) = 1 − P(0) = 1 − 0,1353 = 0,8647

De Binomial a Poisson: efectos adversos

La probabilidad de que un fármaco produzca un efecto adverso grave es 0,003. Se trata a 1.000 pacientes. a) ¿Se puede usar Poisson? ¿Con qué λ? b) P(ningún efecto adverso). c) P(exactamente 2). d) P(como mucho 2).

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a) X ~ B(1000; 0,003). Como p = 0,003 < 0,1 y n·p = 3 < 5, sí: X ≈ P(λ = 3).

Tabla para λ = 3: P(0) = 0,0498 · P(1) = 0,1494 · P(2) = 0,2240.

b) 0,0498 · c) 0,2240 · d) 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232

Normal: fuerza de prensión

La fuerza de prensión en mujeres sanas de 40 a 50 años sigue una N(28, 5) kg. ¿Qué porcentaje tiene una fuerza: a) menor de 33 kg; b) mayor de 20 kg; c) entre 23 y 38 kg; d) mayor de 40 kg? e) ¿Qué fuerza solo es superada por el 10 %? f) ¿Por debajo de qué valor está el 5 % más débil?

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Tipifica siempre: $z = (x - 28)/5$ . Dibuja la campana y sombrea. Recuerda que la tabla da $P(Z > z)$ . En e) y f) haces el camino al revés: del área sacas z y luego $x = \mu + z\sigma$ .

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a) $z = (33-28)/5 = 1$ → P(Z < 1) = 1 − 0,1587 = 0,8413 → 84,13 % b) $z = (20-28)/5 = -1{,}6$ → P(Z > −1,6) = 1 − P(Z > 1,6) = 1 − 0,0548 = 0,9452 → 94,52 % c) $z_1 = -1$ , $z_2 = 2$ → P(Z > −1) − P(Z > 2) = 0,8413 − 0,0228 = 0,8185 → 81,85 % d) $z = (40-28)/5 = 2{,}4$ → P(Z > 2,4) = 0,0082 → 0,82 % e) Área a la derecha = 0,10 → z = 1,28 → x = 28 + 1,28·5 = 34,4 kg f) Área a la izquierda = 0,05 → por simetría z = −1,645 → x = 28 − 1,645·5 = 19,8 kg

Normal: tensión arterial

La tensión sistólica en una población sigue una N(120, 12) mmHg. a) ¿Entre qué valores está aproximadamente el 95 % central? b) ¿Qué probabilidad hay de tener más de 150 mmHg? c) ¿Qué valor z corresponde a 108 mmHg y qué significa?

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a) Por la regla 68-95-99,7: μ ± 2σ = 120 ± 24 → entre 96 y 144 mmHg. Con el valor exacto 1,96 sale entre 96,5 y 143,5. b) $z = (150-120)/12 = 2{,}5$ → P(Z > 2,5) = 0,0062 (0,62 %): es muy poco frecuente. c) $z = (108-120)/12 =$ −1 → está una desviación típica por debajo de la media.

Leer la tabla de la t de Student

a) $P(t_{10} \ge 2{,}228)$ · b) $P(t_{15} \le 1{,}341)$ · c) $t_{8;\,0{,}05}$ · d) $P(t_{20} \le -1{,}725)$

✅Ver la solución

a) En la fila 10, 2,228 está en la columna 0,025 → 0,025. b) En la fila 15, 1,341 está en la columna 0,1 (a su derecha) → a la izquierda queda 1 − 0,1 = 0,9. c) Fila 8, columna 0,05 → 1,860. d) La t es simétrica: la cola izquierda de −1,725 es igual a la cola derecha de +1,725. Fila 20 → 0,05.

Leer la tabla de la ji-cuadrado

a) $P(\chi^2_2 \ge 5{,}991)$ · b) $P(\chi^2_5 < 1{,}145)$ · c) $\chi^2_{3;\,0{,}01}$ · d) $\chi^2_{10;\,0{,}95}$

✅Ver la solución

a) Fila 2, columna 0,05 → 0,05. b) En la fila 5, 1,145 deja a su derecha 0,95 → a la izquierda queda 1 − 0,95 = 0,05. (La χ² no es simétrica: aquí no vale el truco del signo). c) Fila 3, columna 0,01 → 11,34. d) Fila 10, columna 0,95 → 3,940.

Entrenador de tablas

Para coger soltura con las tablas, nada mejor que repetir. Este entrenador te genera preguntas sin parar:

¿Lista? Márcalo para llevar la cuenta de lo que llevas.

Practicar con SPSS →