Tema 2 · Estadística descriptiva

Tablas de frecuencias

Una tabla de frecuencias ordena los datos: en la primera columna van los valores de la variable y en las siguientes, cuántas veces aparece cada uno. Hay cuatro frecuencias y conviene distinguirlas bien:

Datos agrupados en intervalos

Cuando la variable es continua (peso, tiempo…) o tiene muchos valores distintos, se agrupa en intervalos (clases), por ejemplo 40–50 kg, 50–60 kg… Entonces aparecen dos cosas nuevas:

• Marca de clase $x_i$: el punto medio del intervalo, $x_i = \dfrac{L_{i-1} + L_i}{2}$. Es el valor que «representa» a todo el intervalo en los cálculos. Para 40–50, es 45.
• Amplitud $a_i$: lo que mide el intervalo, $a_i = L_i - L_{i-1}$. Para 40–50, es 10.

Cómo leer una tabla de SPSS

SPSS te da las frecuencias así. Fíjate en la diferencia entre Porcentaje y Porcentaje válido:

• Porcentaje: sobre todos (120, incluidos los 4 que no contestaron).
• Porcentaje válido: sobre los que sí contestaron (116). Es el que se usa normalmente.
• Porcentaje acumulado: el % válido de «este valor o menos». Es tu $F_i$.

Por ejemplo, ¿qué % se cayó 2 veces o menos? Se lee directamente en el acumulado: 86,2 %. ¿Y entre 1 y 3 caídas? Puedes sumar los válidos (25,9 + 15,5 + 8,6 = 50,0 %) o restar acumulados: 94,8 − 44,8 = 50,0 %.

Medidas de tendencia central

Responden a la pregunta: ¿alrededor de qué valor se agrupan los datos?

Media aritmética

Es el promedio: sumas todo y divides entre cuántos hay. Tiene las mismas unidades que la variable.

$\bar{x} = \frac{\sum x_i \, n_i}{n}$

Ejemplo: la media de 2, 2, 3, 6, 7 es $(2+2+3+6+7)/5 = 4$.

Con datos agrupados, cada intervalo se representa con su marca de clase: multiplicas cada marca por su frecuencia ($x_i \cdot n_i$), sumas y divides entre $n$.

Mediana

Es el valor del medio cuando ordenas los datos: deja al 50 % por debajo y al 50 % por encima.

• Número impar de datos: el central. En 2, 2, 3, 6, 7 la mediana es 3.
• Número par: la media de los dos centrales. En 2, 2, 3, 5, 6, 7 la mediana es $(3+5)/2 = 4$.
• Datos agrupados: con la fórmula de los percentiles (es el percentil 50), que verás más abajo.

Moda

El valor más repetido. Puede no haber moda, o haber varias: unimodal (una), bimodal (dos), multimodal (muchas). Con datos agrupados se busca el intervalo modal (el de mayor frecuencia) y se toma su marca de clase como moda.

Cuantiles: cuartiles y percentiles

Son medidas de posición no central. Dividen los datos ordenados en partes con el mismo número de individuos:

• Cuartiles ($Q_1, Q_2, Q_3$): cortan en 4 partes (25 % cada una).
• Percentiles ($P_1 \dots P_{99}$): cortan en 100 partes.
• Deciles: en 10; quintiles: en 5.

Equivalencias que hay que saberse: $P_{25} = Q_1$, $\;P_{50} = Q_2 = \text{Mediana}$, $\;P_{75} = Q_3$.

Con datos sueltos

Ordena los datos y calcula la posición $k \cdot n / 100$ (para cuartiles, $n/4$, $2n/4$ y $3n/4$). Si no es un número entero, redondea hacia arriba y coge el dato que ocupa ese lugar.

Ejemplo con 2, 2, 3, 6, 7 ($n=5$): para $Q_1$ la posición es $5/4 = 1{,}25$ → el 2.º dato → $Q_1 = 2$. Para $Q_3$ es $3 \cdot 5/4 = 3{,}75$ → el 4.º dato → $Q_3 = 6$.

Con datos agrupados

$P_k = L_{i-1} + \frac{\dfrac{k \cdot n}{100} - N_{i-1}}{n_i} \cdot a_i$

Parece fea, pero siempre son los mismos tres pasos. Pruébalo:

Medidas de dispersión

Dos grupos pueden tener la misma media y ser muy distintos. Visitas al centro de salud en un mes: el grupo A tiene 2, 3, 4 y el grupo B tiene 1, 3, 5. Los dos tienen media 3 y mediana 3, pero B está más disperso. Las medidas de dispersión miden eso, y además indican lo representativa que es la media: cuanta menos dispersión, más se parecen los datos a su media.

Rango (recorrido) y rango intercuartílico

• Rango = máximo − mínimo. Muy fácil, pero muy sensible a valores extremos (solo usa dos datos). Rango de 2, 2, 3, 6, 7 = 7 − 2 = 5.
• Rango intercuartílico (RIQ) = $Q_3 - Q_1$. Es la anchura del 50 % central de los datos. Menos sensible a los extremos. Para 2, 2, 3, 6, 7: $6 - 2 = 4$.

Varianza y desviación típica

La varianza es el promedio de las distancias al cuadrado de cada dato a la media. La desviación típica es su raíz cuadrada, para volver a las unidades originales.

$S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 \, n_i}{n-1} \qquad\qquad S = \sqrt{S^2}$

Hay una fórmula equivalente que suele ser más rápida con tablas: $S^2 = \dfrac{\sum x_i^2\, n_i - n\,\bar{x}^2}{n-1}$.

Coeficiente de variación (CV)

¿Qué es más disperso, la altura de las personas o la de los edificios? No puedes comparar las desviaciones típicas directamente si las medias son muy distintas (o si las unidades son distintas). El CV relativiza la dispersión dividiéndola por la media:

$CV = \frac{S}{\bar{x}} \quad (\times 100 \text{ para expresarlo en } \%)$

• No tiene unidades, así que sirve para comparar variables distintas (peso frente a altura) o en escalas distintas.
• Menor CV → menos dispersión → media más representativa.
• No es útil si la media es muy pequeña (menor que 1) o cero.

Medidas de forma

Asimetría

Una distribución es simétrica si su gráfica es como un espejo respecto al centro. Si no, la asimetría se nombra según hacia dónde va la cola:

La regla general es que la media se va hacia la cola, porque es la que más se deja arrastrar por los valores extremos.

Curtosis (apuntamiento)

Compara lo apuntada que es la distribución con la normal. Solo tiene sentido con campanas unimodales (más o menos) simétricas.

• Leptocúrtica: más apuntada que la normal → curtosis > 0.
• Mesocúrtica: igual que la normal → curtosis = 0.
• Platicúrtica: más aplastada → curtosis < 0.

Gráficos: cuál usar en cada caso

Tablas y gráficos son dos formas equivalentes de presentar la misma información. Un buen gráfico da una idea rápida y global. La regla de oro es que las áreas (o longitudes) son proporcionales a las frecuencias.

Proporción, tasa y razón

Son tres tipos de cociente que se usan mucho en salud (y otra vez en Epidemiología):

• Proporción: el numerador está incluido en el denominador. Va de 0 a 1. Por ejemplo, la proporción de mujeres (mujeres / total) o la prevalencia.
• Tasa: el denominador incluye tiempo. Va de 0 a infinito. Por ejemplo, la tasa de mortalidad o la tasa de incidencia (casos por persona y año).
• Razón: cociente entre dos cosas distintas, sin que una esté incluida en la otra. Por ejemplo, el índice de masculinidad (hombres / mujeres).