Tema 3 · Probabilidad y distribuciones

¿Qué es la probabilidad?

La probabilidad mide la incertidumbre: es un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro) que dice lo esperable que es un suceso. Si dices «tengo un 80 % de probabilidad de aprobar», quieres decir que, si hicieras ese examen muchísimas veces, aprobarías unas 80 de cada 100.

Hay cuatro formas de entenderla (es una pregunta típica de test):

Concepción	Idea	Ejemplo
Clásica (Laplace), «a priori»	Casos favorables / casos posibles. Solo vale si todos los resultados son equiprobables	P(sacar un 5 con un dado) = 1/6
Frecuentista (empírica), «a posteriori»	La frecuencia relativa tras repetir el experimento muchísimas veces	Lanzas una chincheta 10.000 veces y cae de punta el 62 %
Subjetiva (Bayes)	El grado de creencia personal, según la información que tenga cada uno. Dos personas pueden dar valores distintos	«Creo que hay un 70 % de que llueva hoy»
Axiomática (Kolmogorov)	Cualquier forma de asignar probabilidades que cumpla 3 reglas (axiomas)	Es la definición matemática formal

🧮Los 3 axiomas de Kolmogorov

$P(A) \ge 0$ para cualquier suceso.
$P(\Omega) = 1$ : el suceso seguro tiene probabilidad 1.
Si A y B son incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Reglas de cálculo

🧮Propiedades básicas

$0 \le P(A) \le 1$
Complementario: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . Es muy útil para los «al menos uno».
Imposible: $P(\varnothing) = 0$
Unión (regla de la suma):
- Si son incompatibles: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
- Si son compatibles: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Se resta la intersección porque, si no, la contarías dos veces.

Lectoras de sagas: unión, intersección, condicionada

Elegimos al azar a una alumna del máster. A = «ha leído Harry Potter», B = «ha leído Los Juegos del Hambre». Mueve las probabilidades.

P(A) 0,50

P(B) 0,40

P(A ∩ B): ha leído las dos 0,15

P(A ∪ B) · al menos una

0,75

P(Ā) · no ha leído HP

0,50

P(A | B)

0,375

P(B | A)

0,300

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}50 + 0{,}40 - 0{,}15 = 0{,}75$

$P(A\,|\,B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}40} = 0{,}375$ → «de las que han leído Los Juegos del Hambre, qué proporción ha leído también Harry Potter».

❌ Incompatibles (no pueden darse a la vez): no, porque P(A ∩ B) = 0,15 ≠ 0.

❌ Independientes (saber una cosa no cambia la probabilidad de la otra): comprobamos si P(A ∩ B) = P(A)·P(B) → 0,15 ≠ 0,50·0,40 = 0,2. Además P(A|B) = 0,37 ≠ P(A) = 0,50.

Probabilidad condicionada e independencia

La probabilidad condicionada $P(A \mid B)$ se lee «probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B». Saber que ha pasado B reduce el universo: ya solo miras a los individuos que cumplen B.

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ejemplo con una baraja española de 40 cartas: hay 12 figuras (sota, caballo y rey de cada palo) y 4 reyes. P(rey | figura) = 4/12 = 1/3, porque si ya sabes que es una figura, solo cuentan las 12 figuras.

Probabilidad condicionada con una tabla

200 alumnos de Hogwarts, según su casa y si aprueban Pociones (datos inventados).

Fíjate solo en…

	Aprueba	Suspende	Total
🦁 Gryffindor	48	32	80
🐍 Slytherin	96	24	120
Total	144	56	200

Sin condición, el «universo» son los 200 alumnos. P(aprueba) = 144 / 200 = 0,72.

Pulsa un botón de «Fíjate solo en…» para ver una probabilidad condicionada.

Independencia: A y B son independientes si saber que ha ocurrido uno no cambia la probabilidad del otro:

$P(A \mid B) = P(A) \quad\Longleftrightarrow\quad P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$

🧮Regla de la multiplicación

Si A y B son independientes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
En general: $P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B) = P(B \mid A) \cdot P(A)$

⚠️Incompatibles ≠ independientes

Se confunden muchísimo y son casi lo contrario:

Incompatibles: no pueden pasar a la vez → $P(A \cap B) = 0$ .
Independientes: uno no influye en el otro → $P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$ .

Si dos sucesos (con probabilidad mayor que 0) son incompatibles, no son independientes: si pasa uno, sabes seguro que el otro no ha pasado.

Para comprobar la independencia en un ejercicio, calcula $P(A)\cdot P(B)$ y compáralo con $P(A \cap B)$ , o compara $P(A \mid B)$ con $P(A)$ .

Variables aleatorias

Una variable aleatoria (X) asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo, lanzas 3 monedas y X = «número de caras» puede valer 0, 1, 2 o 3.

Discreta: toma valores que se pueden contar (0, 1, 2…). Se describe con la función de probabilidad, que da $P(X = x)$ para cada valor. Se dibuja como un diagrama de barras con frecuencias relativas.
Continua: puede tomar cualquier valor de un intervalo. Se describe con la función de densidad $f(x)$ , una curva. La probabilidad es el área bajo la curva, y el área total vale 1. Es la versión «suave» de un histograma de frecuencias relativas.
Función de distribución: $F(x) = P(X \le x)$ , la probabilidad acumulada hasta x. Es el equivalente de la frecuencia relativa acumulada del Tema 2.

Nº de caras (3 monedas)	0	1	2	3
Resultados	XXX	CXX, XCX, XXC	CCX, CXC, XCC	CCC
$P(X = x)$	1/8	3/8	3/8	1/8
$F(x) = P(X \le x)$	1/8	4/8	7/8	1

⚠️Trampa de examen

En una variable continua, la probabilidad de un valor exacto es 0 (no hay área sobre un solo punto). Por eso, con la Normal, $P(X < 210)$ y $P(X \le 210)$ son lo mismo. En las discretas (Binomial, Poisson) no: $P(X < 3)$ y $P(X \le 3)$ son distintas.

Distribución Binomial

💡¿Cuándo es Binomial? Las 3 pistas

Repites algo un número fijo de veces: n.
Cada vez solo hay dos resultados: «éxito» o «fracaso».
La probabilidad de éxito p es la misma cada vez, y los intentos son independientes.

X = número de éxitos en los n intentos, y se escribe $X \sim B(n, p)$ .

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k} \qquad\qquad \text{Media (valor esperado)} = n \cdot p$

El número combinatorio $\binom{n}{k}$ cuenta de cuántas formas se pueden colocar los k éxitos. En la práctica usarás la tabla (o SPSS), así que lo importante es plantear bien n, p y qué valores de k sumar.

La distribución Binomial B(n, p)

Katniss dispara n flechas. Cada una da en el blanco con probabilidad p, sin importar lo que pasó con las anteriores. X = número de «éxitos» (aciertos).

n (nº de intentos) 10

p (prob. de éxito en cada intento) 0,70

k 7

Probabilidad de exactamente 7 aciertos: P(X = 7) = 0,2668 (26,68 %)

Esperanza (media) = n·p

7,00

Fórmula de P(X = k)

\binom{10}{k}\,0{,}70^k\,0{,}30^{10-k}

💡 Las tablas suelen llegar solo hasta p = 0,5. Con p = 0,70, cuenta los fracasos en vez de los éxitos: siguen una B(10, 0,30).

⚠️Traduce bien las palabras (aquí se pierden muchos puntos)

Dicen…	Significa	Para una variable discreta
«exactamente 3»	$X = 3$	una sola barra
«3 o menos», «como mucho 3», «no más de 3»	$X \le 3$	0 + 1 + 2 + 3
«menos de 3»	$X < 3$	$X \le 2$ : ¡el 3 no entra!
«al menos 3», «3 o más»	$X \ge 3$	$1 - P(X \le 2)$
«más de 7»	$X > 7$	$X \ge 8$
«entre 4 y 6 (inclusive)»	$4 \le X \le 6$	4 + 5 + 6

🩺En tu consulta

Un paciente tras un ictus acierta a tocar un objeto con probabilidad 0,3 en cada intento. Si hace 10 intentos, X = nº de aciertos ~ B(10; 0,3). El número esperado de aciertos es $10 \cdot 0{,}3 = 3$ .

Distribución de Poisson

💡¿Cuándo es Poisson?

Cuando cuentas cuántas veces pasa algo (normalmente poco frecuente) en un intervalo de tiempo o de espacio: urgencias por hora, caídas por semana, llamadas por día. La llaman la distribución de los sucesos raros. Tiene un solo parámetro, λ (lambda) = el número medio de sucesos en ese intervalo.

$P(X = k) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!} \qquad\qquad \text{Media} = \lambda$

La distribución de Poisson P(λ)

A casa de los Dursley llegan de media λ lechuzas por hora con cartas de Hogwarts. X = cuántas llegan en un intervalo concreto.

λ (número medio por intervalo) 3,0

k 3

Probabilidad de exactamente 3 lechuzas: P(X = 3) = 0,2240 (22,40 %)

Fíjate: la barra más alta está siempre cerca de λ, que es la media. Con λ pequeña la distribución es muy asimétrica; con λ grande se parece a una campana.

Poisson como atajo de la Binomial

Si una Binomial tiene n muy grande y p muy pequeña (como regla, $p < 0{,}1$ y $n \cdot p < 5$ ), se puede aproximar por una Poisson con λ = n · p. Es mucho más fácil de calcular y de buscar en tablas.

🩺En tu consulta

La probabilidad de una reacción alérgica a una vacuna es 0,001 y se vacuna a 3.000 personas. Hacer $B(3000;\ 0{,}001)$ a mano es imposible, pero $\lambda = 3000 \cdot 0{,}001 = 3$ , así que X ≈ P(3). P(ninguna reacción) = $e^{-3} = 0{,}0498$ .

Distribución Normal (la campana de Gauss)

Es la más importante: muchas variables biológicas (tensión, colesterol, fuerza, talla…) la siguen aproximadamente. Se escribe $N(\mu, \sigma)$ y queda determinada por la media μ y la desviación típica σ.

🧮Propiedades

Tiene forma de campana y es simétrica respecto a μ.
Media = mediana = moda, en el centro.
Es asintótica: las colas se acercan al eje pero nunca lo tocan (va de −∞ a +∞).
El área total bajo la curva es 1 (el 100 %).
Regla 68 – 95 – 99,7: entre μ ± σ queda el 68 % de los datos, entre μ ± 2σ el 95 % y entre μ ± 3σ el 99,7 %.

Tipificar: convertir cualquier normal en la Z

Como hay infinitas normales (una para cada μ y σ), solo existe una tabla: la de la normal tipificada $Z = N(0, 1)$ . Para usarla, transformas tu valor con:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

El valor z dice a cuántas desviaciones típicas de la media está tu dato. Por ejemplo, z = 2 significa «2σ por encima de la media» y z = −1, «1σ por debajo».

✨Tipificar para comparar

Hermione saca un 8 en Pociones (media de la clase 6, σ = 1) y un 9 en Encantamientos (media 8, σ = 2). ¿En cuál destaca más? Pociones: $z = (8-6)/1 = 2$ . Encantamientos: $z = (9-8)/2 = 0{,}5$ . Destaca mucho más en Pociones, aunque la nota sea más baja.

Usar la tabla: dibuja siempre la campana

La tabla de la asignatura da la cola derecha: $P(Z > z)$ , para z positivos. Con la simetría y el «1 − …» se sacan todos los casos:

Te piden	Cómo se calcula	Ejemplo (z = 1)
$P(Z > z)$	Directo de la tabla	0,1587
$P(Z < z)$	$1 - \text{tabla}(z)$	1 − 0,1587 = 0,8413
$P(Z < -z)$	Simetría: $= \text{tabla}(z)$	0,1587
$P(Z > -z)$	Simetría: $= 1 - \text{tabla}(z)$	0,8413
$P(a < Z < b)$	$P(Z > a) - P(Z > b)$	$P(-1 < Z < 1) = 1 - 2(0{,}1587) = 0{,}6826$

La campana de Gauss: áreas = probabilidades

a 210,0 mg/dl

P(X < 210,0)

0,8413 (84,13 %)

Paso 1. Tipifica (pasa a la normal estándar Z): $z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} = \dfrac{210{,}0 - 200}{10} = 1{,}00$

Paso 2. Busca en la tabla: La tabla da la cola derecha, pero queremos la izquierda: P(Z < 1,00) = 1 − P(Z > 1,00) = 1 − 0,1587 = 0,8413.

z	..0	..1	..2	..3	..4	..5	..6	..7	..8	..9
0,9	0,1841	0,1814	0,1788	0,1762	0,1736	0,1711	0,1685	0,1660	0,1635	0,1611
1,0	0,1587	0,1562	0,1539	0,1515	0,1492	0,1469	0,1446	0,1423	0,1401	0,1379
1,1	0,1357	0,1335	0,1314	0,1292	0,1271	0,1251	0,1230	0,1210	0,1190	0,1170

Extracto de la tabla N(0,1), que da la cola derecha P(Z > z). Fila = unidad y primer decimal (1,0), columna = segundo decimal (0).

Al revés: dado un porcentaje, buscar el valor

«¿Qué valor de colesterol solo es superado por el 10 %?» Ahora conoces el área y buscas el valor:

Busca dentro de la tabla el número más cercano a 0,10 → es 0,1003, en la fila 1,2 y la columna 8 → z = 1,28.
Deshaz la tipificación: $x = \mu + z \cdot \sigma = 200 + 1{,}28 \cdot 10 = 212{,}8$ mg/dl.

Valores z que conviene tener a mano: 1,28 (deja un 10 % a la derecha), 1,645 (5 %), 1,96 (2,5 %) y 2,33 (1 %).

t de Student, ji-cuadrado y F

Son distribuciones «hijas» de la normal. Las usarás en los próximos temas (intervalos de confianza y contrastes); por ahora basta con conocer sus propiedades y saber leer sus tablas.

	t de Student	Ji-cuadrado ( $\chi^2$ )	F de Snedecor
Parámetros	1: grados de libertad	1: grados de libertad	2: grados de libertad ( $n_1$ , $n_2$ )
Valores	De −∞ a +∞	Solo positivos (0 a +∞)	Solo positivos
Forma	Simétrica respecto a 0, campana con colas más gruesas	Asimétrica a la derecha	Asimétrica a la derecha
Con más g.l.	Se parece cada vez más a la normal	Se hace más simétrica	—

Sus tablas funcionan igual: la fila son los grados de libertad, la columna es el área que queda a la derecha y dentro está el valor. Por ejemplo, $P(t_{12} \ge 1{,}782) = 0{,}05$ y $\chi^2_{1;\,0{,}05} = 3{,}841$ .

Resumen: ¿qué distribución uso?

Situación	Distribución	Parámetros
Cuento éxitos en n intentos con probabilidad p fija	Binomial B(n, p)	n, p
Cuento sucesos (raros) por unidad de tiempo o espacio	Poisson P(λ)	λ (la media)
Binomial con n grande y p pequeña ( $p<0{,}1$ , $np<5$ )	Aproximar por Poisson	λ = n·p
Variable continua con forma de campana (peso, colesterol…)	Normal N(μ, σ)	μ, σ

¿Lista? Márcalo para llevar la cuenta de lo que llevas.

Practicar con ejercicios →

Tema 3 · Probabilidad y distribuciones

¿Qué es la probabilidad?

Reglas de cálculo

Lectoras de sagas: unión, intersección, condicionada

Probabilidad condicionada e independencia

Probabilidad condicionada con una tabla

Variables aleatorias

Distribución Binomial

La distribución Binomial B(n, p)

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson P(λ)

Poisson como atajo de la Binomial

Distribución Normal (la campana de Gauss)

Tipificar: convertir cualquier normal en la Z

Usar la tabla: dibuja siempre la campana

La campana de Gauss: áreas = probabilidades

Al revés: dado un porcentaje, buscar el valor

t de Student, ji-cuadrado y F

t de Student frente a la normal

Entrenador de tablas

Resumen: ¿qué distribución uso?